Deixe a fração no menor tamanho possível com o máximo divisor comum

O que é simplificar

Simplificar uma fração é dividir numerador e denominador pelo mesmo número, diferente de zero. O valor não muda, só o tamanho dos números. Dividir cima e baixo por 2 transforma 10/16 em 5/8. A quantidade é a mesma.

Uma fração está na forma irredutível quando não dá mais para dividir os dois números por nenhum número inteiro maior que 1. É a forma que os livros e os exercícios costumam pedir.

Exemplo rápido: 12/30. Os dois números dividem por 6, pois 12 ÷ 6 = 2 e 30 ÷ 6 = 5. A fração vira 2/5. Conferindo na divisão, 12 ÷ 30 e 2 ÷ 5 dão 0,4. O valor é o mesmo, só o nome ficou mais curto.

O que é o MDC

MDC significa máximo divisor comum. É o maior número que divide dois valores sem deixar resto. Para 18 e 24, os divisores de 18 são 1, 2, 3, 6, 9 e 18. Os de 24 são 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24. Os comuns são 1, 2, 3 e 6. O maior é 6.

Se você dividir numerador e denominador pelo MDC, a fração já sai irredutível de uma vez só: 18 ÷ 6 = 3 e 24 ÷ 6 = 4. Resultado: 3/4.

Método 1: lista de divisores

Serve para números pequenos. Liste os divisores dos dois números, marque os comuns e pegue o maior.

Exemplo: simplificar 28/42.

1. Divisores de 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28.
2. Divisores de 42: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
3. Comuns: 1, 2, 7, 14. MDC = 14.
4. 28 ÷ 14 = 2 e 42 ÷ 14 = 3.

Resultado: 2/3.

Método 2: divisões sucessivas

Também chamado de algoritmo de Euclides. Funciona bem com números grandes. Divida o maior pelo menor, depois divida o divisor pelo resto, e repita até o resto zerar. O último divisor é o MDC.

Exemplo: MDC de 84 e 126, para simplificar 84/126.

1. 126 ÷ 84 = 1, resto 42.
2. 84 ÷ 42 = 2, resto 0.

O último divisor foi 42, então MDC = 42. Dividindo: 84 ÷ 42 = 2 e 126 ÷ 42 = 3. A fração fica 2/3.

Método 3: fatoração

Decomponha os dois números em primos. O MDC é o produto dos fatores que aparecem nos dois, usando o menor expoente.

Exemplo: 60/150.

1. 60 = 2 x 2 x 3 x 5, ou 2² x 3 x 5.
2. 150 = 2 x 3 x 5 x 5, ou 2 x 3 x 5².
3. Fatores comuns com menor expoente: 2, 3 e 5.
4. MDC = 2 x 3 x 5 = 30.
5. 60 ÷ 30 = 2 e 150 ÷ 30 = 5.

Resultado: 2/5. Se preferir ir aos poucos, também vale: 60/150, dividir por 10 dá 6/15, dividir por 3 dá 2/5. O destino é o mesmo.

Atalhos de divisibilidade e checklist

Antes de calcular o MDC, teste os critérios rápidos.

• Por 2: termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.
• Por 3: a soma dos algarismos divide por 3. Em 124, 1+2+4 = 7, não divide. Em 126, 1+2+6 = 9, divide.
• Por 5: termina em 0 ou 5.
• Por 10: termina em 0.
• Por 9: a soma dos algarismos divide por 9.

Checklist final: os dois números ainda são pares? Ainda dividem por 3 ou 5? Se a resposta for não para tudo, teste também 7, 11 e 13, ou calcule o MDC. Só quando o MDC for 1 a fração está irredutível.

Para comparar com o seu caminho, a opção simplificar da calculadora de frações da Axia mostra o MDC encontrado e a fração reduzida.

Por que simplificar ajuda a comparar

Duas frações podem parecer diferentes e ser a mesma quantidade. Veja quinze vinte avos e nove doze avos. À primeira vista, não dá para dizer qual é maior. Mas se você simplificar a primeira, dividindo por cinco, ela vira três quartos. Se simplificar a segunda, dividindo por três, também vira três quartos. São iguais.

Simplificar funciona como arrumar a mesa antes de comparar os pratos. Quando todas as frações estão na forma mais curta, ficam parecidas e o olho percebe rápido a igualdade. Também fica mais fácil achar o MMC numa soma, porque os denominadores são menores.

Em provas e em contas do dia a dia, a resposta simplificada é a mais fácil de ler e de conferir. Uma correção pode até aceitar a forma não simplificada, mas quem lê o seu resultado entende melhor três quartos do que quarenta e cinco sessenta avos.

Simplificar em etapas ou de uma vez

Nem sempre você enxerga o MDC de primeira. Tudo bem. O caminho em etapas é seguro: divida por qualquer fator comum que enxergar, como dois ou cinco, e repita até não sobrar nenhum. O resultado final é o mesmo que você teria com o MDC.

Pegue noventa sobre cento e vinte. Os dois terminam em zero, então dividem por dez e viram nove sobre doze. Os dois dividem por três e viram três sobre quatro. Foram duas etapas, e o MDC era trinta, porque dez vezes três é trinta. Se tivesse enxergado o trinta, seria uma etapa só.

Aprender a ver o MDC rápido vem com a prática. Uma dica é testar os maiores fatores primeiro, como cinco, três e dois, e voltar para a lista toda quando um deles não funcionar. Outra é lembrar que, se a diferença entre numerador e denominador for um número pequeno, o MDC não pode ser maior que essa diferença.