Por que 1/3 nunca termina: dízimas periódicas e a fração geratriz

De onde vem a dízima

Na divisão de 1 por 3, você tem sempre resto 1. 10 ÷ 3 = 3, resto 1. Acrescenta zero, 10 ÷ 3 = 3, resto 1 de novo. O resto nunca chega a zero e repete, então os algarismos também repetem.

Como os restos possíveis na divisão por n são poucos (de 0 a n-1), mais cedo ou mais tarde um resto aparece pela segunda vez. A partir dele, tudo se repete. Por isso, toda fração gera um decimal exato ou uma dízima periódica, nunca algo sem padrão.

Como reconhecer o período

O período é o grupo de algarismos que repete. Costuma-se indicar com reticências ou uma barra sobre o grupo.

O período de 1/7 tem seis algarismos, mas segue a mesma lógica: depois do sexto resto diferente, o ciclo recomeça. Quando há algarismos antes do período, como o 1 em 0,1666..., a dízima é chamada composta. Quando o período começa logo depois da vírgula, é simples.

Fração geratriz de uma dízima simples

Fração geratriz é a fração que dá origem à dízima. Método: chame a dízima de x, multiplique por uma potência de 10 que desloque um período, e subtraia.

Exemplo: x = 0,666...

1. Multiplique por 10: 10x = 6,666...
2. Subtraia: 10x - x = 6,666... - 0,666...
3. 9x = 6.
4. x = 6/9 = 2/3.

Atalho: numa dízima simples, o numerador é o período e o denominador é um 9 para cada algarismo do período. 0,454545... = 45/99 = 5/11.

Mais um exemplo: 0,181818... O período é 18, com dois algarismos, então o denominador é 99. Fica 18/99, que simplifica por 9 e dá 2/11. Conferindo, 2 ÷ 11 = 0,1818...

Exemplo resolvido: dízima composta

Ache a fração de 0,1666...

1. x = 0,1666...
2. Multiplique por 10 para levar o período logo depois da vírgula: 10x = 1,666...
3. Multiplique por 100 para andar um período: 100x = 16,666...
4. Subtraia: 100x - 10x = 16,666... - 1,666...
5. 90x = 15.
6. x = 15/90 = 1/6.

Conferindo: 1 ÷ 6 = 0,1666... Fechou.

Exemplo resolvido: tempo e medidas

Uma prova de revezamento tem 1 quilômetro no total, dividido igualmente entre 3 atletas. Cada atleta corre 1/3 de quilômetro.

1. 1 ÷ 3 = 0,333... quilômetro.
2. Em metros: 0,333... x 1000 = 333,33... metros.
3. Arredondando ao metro: 333 metros.
4. Três atletas: 333 x 3 = 999 metros. Falta 1 metro.

Aqui está o ponto central. O valor aproximado não fecha a soma. Já com a fração, 1/3 + 1/3 + 1/3 = 3/3 = 1, exato. Em contas com várias etapas, guardar a fração evita a diferença.

Dízima e igualdade: 0,999... é 1?

Sim, é igual a 1. Veja: x = 0,999..., então 10x = 9,999... Subtraindo, 9x = 9 e x = 1. Parece estranho porque a gente imagina que o número “nunca chega” ao 1. Mas 0,999... representa o valor ao qual a sequência converge, e esse valor é exatamente 1. Também é consistente com 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1: se 1/3 é 0,333..., somar três vezes dá 0,999..., que é 1.

Se quiser testar outras frações, use a calculadora de frações da Axia: ela mostra o decimal ao lado da fração e, aumentando as casas, você identifica o trecho que se repete.

Dízimas e a calculadora do celular

A calculadora do celular mostra um número limitado de casas. Ao dividir um por três, ela exibe algo como 0,3333333 e para por falta de espaço. Se você multiplicar esse resultado por três, pode ver 0,9999999, quase um, mas não exatamente um. Isso acontece porque a máquina guardou uma aproximação.

Algumas calculadoras são mais espertas e guardam a fração por trás. Outras arredondam o último algarismo e, por isso, mostram um quando você multiplica três vezes um terço. O resultado correto aparece, mas o motivo é um arredondamento feliz, não uma conta exata.

Para evitar surpresas, desconfie de resultados que dependem de muitas casas e confira com a fração. A calculadora de frações da Axia trabalha com a fração e mostra o decimal ao lado, o que ajuda a comparar o valor exato com a aproximação.

Dízimas em situações comuns

Você encontra dízimas com frequência quando divide algo por três, seis, sete, nove ou onze, a menos que a quantidade seja múltipla do divisor. Dividir uma tábua em três partes iguais, repartir uma receita em seis porções ou dividir um trajeto em nove trechos gera esses decimais sem fim.

Na prática, ninguém precisa de infinitas casas. O que importa é escolher uma precisão adequada. Na tábua de um metro e meio dividida em três, cada pedaço mede cinquenta centímetros, exato. Mas se a tábua tem dois metros, cada pedaço mede sessenta e seis vírgula seis centímetros. A trena só lê milímetros, então você marca sessenta e seis vírgula sete e aceita um erro mínimo.

Um bom costume é distribuir a sobra. Quando você divide cem por três e fica com trinta e três, trinta e três e trinta e quatro, a soma continua exata. Esse truque de repartir o resto vale para pedaços de madeira, porções e voltas de treino.